කිසිවක් ගැන ලිපියක්
අන්තර්ගතය
කුඩා කාලයේ දී, "නියපොතු මත සුප්" ගැන බොහෝ පාඨකයින් දන්නා කතාවට මම වශී වී සිටියෙමි. මගේ ආච්චි (උපත XNUMX වන සියවස) මට මෙය පැවසුවේ “කොසැක් පැමිණ ජලය ඉල්ලා සිටියේය, මන්ද ඔහුට ඇණයක් ඇති අතර ඔහු ඒ මත සුප් පිසිනු ඇත.” කුතුහලය දනවන සේවිකාව ඔහුට වතුර භාජනයක් දුන්නා ... ඊළඟට සිදුවූයේ කුමක්දැයි අපි දනිමු: "සුප් ලුණු, ඩේටි, ආච්චි, ලුණු" විය යුතුය, ඉන්පසු ඔහු "රසය වැඩි දියුණු කිරීම සඳහා" මස් සෝදා ගත්තේය. අවසානයේදී ඔහු "තම්බා" ඇණය ඉවතට විසි කළේය.
එබැවින් මෙම ලිපිය අභ්‍යවකාශයේ හිස්බව ගැන විය යුතුය - මෙය 67 නොවැම්බර් 12 වන දින 2014P / Churyumov-Gerasimenko වල්ගා තරුව මත යුරෝපීය උපකරණයක් ගොඩබෑම ගැන ය. නමුත් ලියන අතරතුර, මම දිගුකාලීන පුරුද්දකට යටත් විය, මම තවමත් ගණිතඥයෙක්. කොහොමද ඒක එක්ක මෙන්с බිංදුව ගණිතය?
කිසිවක් නොපවතින්නේ කෙසේද?
කිසිවක් නැතැයි කිව නොහැක. එය අවම වශයෙන් දාර්ශනික, ගණිතමය, ආගමික සහ සම්පූර්ණයෙන්ම වාචික සංකල්පයක් ලෙස පවතී. ශුන්ය යනු සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාවක්, උෂ්ණත්වමානයක අංශක ශුන්ය ද උෂ්ණත්වයක් වන අතර බැංකුවක ශුන්ය ශේෂයක් අප්රසන්න නමුත් පොදු සිදුවීමකි. කාලානුක්‍රමයේ ශුන්ය වර්ෂයක් නොමැති බව සලකන්න, මෙයට හේතුව ඩියෝනිසියස් භික්ෂුව (XNUMXth සියවස) විසින් යෝජනා කරන ලද කාලානුක්‍රමයට වඩා පසුව, මධ්‍යතන යුගයේ අගභාගයේදී පමණක් ශුන්‍යය ගණිතයට හඳුන්වා දුන් බැවිනි.
පුදුමයට කරුණක් නම්, අපට මෙම ශුන්ය නොමැතිව සහ, එබැවින් සෘණ සංඛ්යා නොමැතිව කළ හැකිය. තර්කනය පිළිබඳ එක් පෙළපොතක, මට අභ්‍යාසයක් හමු විය: මාළු නොමැතිකම ඔබ සිතන්නේ කෙසේදැයි අඳින්න හෝ කියන්න. පුදුමයි නේද? ඕනෑම කෙනෙකුට මාළුවෙකු ඇද ගත හැකි නමුත් එකක් නොවේද?
දැන් කෙටියෙන් මූලික ගණිත පාඨමාලාව. හරස් කළ කවයකින් සලකුණු කර ඇති හිස් කට්ටලයට පැවැත්මේ වරප්‍රසාදය ලබා දීම ∅ සංඛ්යා කට්ටලයට ශුන්ය එකතු කිරීමට සමාන ක්‍රියා පටිපාටියකි. හිස් කට්ටලය යනු කිසිදු මූලද්රව්යයක් අඩංගු නොවන එකම කට්ටලයයි. එවැනි එකතු කිරීම්:
නමුත් වෙනස් හිස් කට්ටල දෙකක් නොමැත. හිස් කට්ටලය අනෙක් සෑම කට්ටලයකම ඇතුළත් වේ:
ඇත්ත වශයෙන්ම, ගණිතමය තාර්කික නීති රීති පවසන්නේ A කට්ටලය B කාණ්ඩයේ අඩංගු වන්නේ නම් සහ වාක්‍යය නම් පමණි:
එය ඇතුළත් වේ
හිස් කට්ටලය ∅ සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ප්‍රස්තුතය සෑම විටම අසත්‍ය වන අතර, ඒ අනුව, තාර්කික නීතිවලට අනුව, ඇඟවුම් සාමාන්‍යයෙන් සත්‍ය වේ. සෑම දෙයක්ම බොරුවකින් පැන නගී ("ඔබ ඊළඟ පන්තියට ගියහොත් මම පතොක් වගා කරමි ..."). ඉතින් හිස් සෙට් එක එක එක එක තුල අන්තර්ගත වෙන නිසා ඒ දෙක එකිනෙකට වෙනස් නම් එක එක ඒවා අනිත් එකේ අන්තර්ගත වෙනවා. කෙසේ වෙතත්, කට්ටල දෙකක් එකිනෙකා තුළ අඩංගු නම්, ඒවා සමාන වේ. ඒකයි: එක හිස් සෙට් එකක් විතරයි තියෙන්නේ!
හිස් කට්ටලයක පැවැත්ම පිළිබඳ උපකල්පනය ගණිතයේ කිසිදු නීතියකට පටහැනි නොවේ, එබැවින් එය ජීවයට ගෙන නොයන්නේ මන්ද? යනුවෙන් හැඳින්වෙන දාර්ශනික මූලධර්මයඔක්කාම්ගේ රේසරය» අනවශ්‍ය සංකල්ප බැහැර කිරීමේ නියෝගයක්, නමුත් හරි හිස් කට්ටලයක් පිළිබඳ සංකල්පය ගණිතයේ දී ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. හිස් කට්ටලයට -1 (සෘණ එක) මානයක් ඇති බව සලකන්න - ශුන්ය මාන මූලද්රව්ය ලක්ෂ්‍ය වන අතර ඒවායේ විරල පද්ධති, ඒකමාන මූලද්රව්ය රේඛා වන අතර, අපි භේද මානයන් සහිත ඉතා සංකීර්ණ ගණිතමය මූලද්රව්ය ගැන අංශභාග පිළිබඳ පරිච්ඡේදයේ කතා කළෙමු. .
ගණිතයේ සම්පූර්ණ ගොඩනැඟිල්ල: සංඛ්යා, සංඛ්යා, ශ්රිතයන්, ක්රියාකරුවන්, අනුකලනය, අවකලනය, සමීකරණ ... එක් සංකල්පයකින් ව්යුත්පන්න කළ හැකි බව සිත්ගන්නා කරුණකි - හිස් කට්ටලයක්! හිස් කට්ටලයක් ඇති බව උපකල්පනය කිරීම ප්රමාණවත්ය, අලුතින් සාදන ලද මූලද්රව්ය කට්ටලවලට ඒකාබද්ධ කළ හැකිය. සියලු ගණිතය ගොඩනඟන්න. ජර්මානු තාර්කිකයෙකු වන ගොට්ලොබ් ෆ්‍රෙජ් ස්වභාවික සංඛ්යා ගොඩනඟා ඇත්තේ එලෙසිනි. Zero යනු හිස් කට්ටලයේ මූලද්රව්ය සමඟ අන්‍යෝන්‍ය ලිපි හුවමාරුවක ඇති මූලද්රව්ය කට්ටල පන්තියකි. එකක් යනු හිස් කට්ටලයක් වන එකම මූලද්රව්ය කට්ටලයක මූලද්රව්ය සමඟ අන්‍යෝන්‍ය අනුරූපී වන මූලද්රව්ය ඇති කට්ටල පන්තියකි. දෙක යනු හිස් කුලකයෙන් සමන්විත කුලකයේ මූලද්රව්ය සමඟින් එකකින් එකක් වන කුලක පන්තියකි. මුලින්ම බැලූ බැල්මට මෙය ඉතා සංකීර්ණ දෙයක් බව පෙනේ, නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම එය එසේ නොවේ.
නිල් පාට මා පුරා පැතිර ගියේය
හෙදර් සුවඳ සහ මින්ට් සුවඳ ...
Wojciech Mlynarski, අස්වැන්න දැරිය
හිතාගන්නත් අමාරුයි
කිසිවක් සිතා ගැනීමට අපහසු නැත. Stanisław Lem ගේ කතාවේ "World Was Saved" නම් නිර්මාණකරු Trurl විසින් අකුරකින් පටන් ගන්නා සෑම දෙයක්ම කරන යන්ත්‍රයක් නිර්මාණය කළේය. Klapaucius එය ගොඩනඟන ලෙස නියෝග කළ විට නික්, යන්ත්‍රය ලෝකයෙන් විවිධ වස්තූන් ඉවත් කිරීමට පටන් ගත්තේය - සියල්ල ඉවත් කිරීමේ අවසාන ඉලක්කය සමඟ. බියට පත් ක්ලැපවුසියස් රථය නතර කරන විට, ගැලී, යූස්, එල්ලීම, හැක්, රයිම්, බීටර්, පුෆ්, ග්‍රයින්ඩර්, ස්කේවර්, ෆිලිඩ්‍රොන්ස් සහ ඉෙමොලිමන්ට් ලෝකයෙන් සදහටම අතුරුදහන් විය. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් සදහටම අතුරුදහන් විය ...
ජෝසෆ් ටිෂ්නර් ඔහුගේ කඳුකර දර්ශනයේ ඉතිහාසය තුළ ශුන්ය භාවය ගැන ඉතා හොඳින් ලිවීය. මගේ අවසාන නිවාඩුවේදී, මම මෙම ශුන්‍යතාවය අත්විඳීමට තීරණය කළෙමි, එනම්, මම පෝදාලේ හි Nowy Targ සහ Jabłonka අතර පීට් බොග් වෙත ගියෙමි. මෙම ප්රදේශය Pustachia ලෙස පවා හැඳින්වේ. ඔබ යන්න, ඔබ යන්න, නමුත් මාර්ගය අඩු නොවේ - ඇත්ත වශයෙන්ම, අපගේ නිහතමානී, පෝලන්ත පරිමාණයෙන්. දවසක් මම කැනඩාවේ සස්කැච්වන් පළාතේ බස් එකක ගියා. පිටත ඉරිඟු වගාවක් විය. මම පැය භාගයක් නිදාගත්තා. මම අවදි වන විට, අපි එම බඩ ඉරිඟු වගාව හරහා රිය පදවාගෙන ගියෙමු ... නමුත් ඉන්න, මෙය හිස්ද? එක් අතකින් වෙනස් නොවීම යනු හිස්බවකි.
අප වටා විවිධ වස්තූන් නිරන්තරයෙන් පැවතීමට අපි පුරුදු වී සිටිමු යමක් ඔබේ ඇස් වසාගෙන පවා ඔබට පලා යා නොහැක. "මම හිතන්නේ, ඒ නිසා මම," ඩෙකාට්ස් පැවසීය. මම දැනටමත් යමක් සිතා ඇත්නම්, මම පවතී, එයින් අදහස් කරන්නේ අවම වශයෙන් ලෝකයේ යමක් ඇති බවයි (එනම්, මම). මා සිතූ දේ පවතිනවාද? මෙය සාකච්ඡා කළ හැකි නමුත් නූතන ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී, හයිසන්බර්ග් මූලධර්මය දනියි: සෑම නිරීක්ෂණයක්ම නිරීක්ෂිත වස්තුවේ තත්වය අවුල් කරයි. අපි එය දකින තුරු නික් එය නොපවතින අතර, අපි බැලීමට පටන් ගත් විට, වස්තුව නතර වේ මෙන් සහ එය බවට පත් වේ යමක්. ඒක විකාර වෙනවා මානව මූලධර්මය: අපි නොසිටියේ නම් ලෝකය කෙබඳු වේද කියා ඇසීමෙන් පලක් නැත. ලෝකය යනු අපට පෙනෙන දෙයයි. සමහර විට වෙනත් ජීවීන් පෘථිවිය කෝණික ලෙස දකිනු ඇත්ද?
පොසිට්‍රෝනයක් (එවැනි ධන ඉලෙක්ට්රෝනයක්) යනු අභ්‍යවකාශයේ සිදුරකි, "ඉලෙක්ට්රෝනයක් නොමැත." සමූලඝාතනය කිරීමේ ක්රියාවලියේදී, ඉලෙක්ට්රෝනය මෙම කුහරය තුලට පැන "කිසිවක් සිදු නොවේ" - සිදුරක් නැත, ඉලෙක්ට්රෝනයක් නැත. මම ස්විට්සර්ලන්ත චීස් වල සිදුරු පිළිබඳ බොහෝ විහිළු මඟ හරිමි ("මා සතුව වැඩි වන තරමට එහි අඩු ..."). සුප්‍රසිද්ධ නිර්මාපකයෙකු වන ජෝන් කේජ් ඒ වන විටත් ඔහුගේ අදහස් කොතරම් දුරට භාවිතා කර ඇත්ද යත්, ඔහු වාදක කණ්ඩායම මිනිත්තු 4 තත්පර 33 ක් චලනය නොවී වාඩි වී සිටින සහ ඇත්ත වශයෙන්ම කිසිවක් වාදනය නොකරන සංගීත කොටසක් (?) රචනා කළේය. "මිනිත්තු හතරයි තත්පර තිස් තුනක් යනු දෙසිය හැත්තෑ තුනකි, 273, සහ අංශක ඍණ 273 නිරපේක්ෂ ශුන්ය වේ, එහිදී සියලු චලනයන් නතර වේ," නිර්මාපකයා (?) පැහැදිලි කළේය.
ශුන්‍යයට පෙරහන් කරන්න, කිසිවක් නැත, නික්, නික්, කිසිවක් නැත, බිංදුව!
Andrzej Wajda ගේ වසර පුරා චිත්‍රපටයේ Jerzy,
දින ගෙවී යයි"
හැමෝම කොහොමද?
බොහෝ අය (සරල ගොවීන්ගේ සිට ප්‍රමුඛ දාර්ශනිකයන් දක්වා) පැවැත්මේ සංසිද්ධිය ගැන පුදුම වූහ. ගණිතයේ දී, තත්වය සරල ය: ස්ථාවර දෙයක් තිබේ.
ඇය ආන්තික කෙත්වල අතුරුදහන් විය
ඉරිඟු මල්, වල් පැලෑටි සහ සිංහ මුඛයේ ...
හොඳයි, මේ වගේ දේවල් වෙනවා
විශේෂයෙන්ම අස්වැන්න නෙළීමේදී සහ අස්වැන්න නෙළන කාලය තුළ
විශේෂයෙන්ම…
Wojciech Mlynarski, අස්වැන්න දැරිය
සියල්ල ඇත්තේ Nothing හි අනෙක් අන්තයේ ය. ගණිතයේ දී අපි එය දනිමු සෑම දෙයක්ම පවතින්නේ නැත. ඔහුගේ පැවැත්ම මතභේදයකින් තොර වනු ඇතැයි යන බොහෝ වැරදි මතයකි. පැරණි විරුද්ධාභාසයේ උදාහරණයෙන් මෙය තේරුම් ගත හැකිය: "දෙවියන් වහන්සේ සර්වබලධාරී නම්, ගොඩ ගැනීමට ගලක් සාදන්න?" සියලුම කුලකවල කුලක තිබිය නොහැකි බවට ගණිතමය සාක්ෂිය පදනම් වන්නේ ප්‍රමේය මතය ගායකයා-බර්ස්ටයින්, එය පවසන්නේ "අසීමිත සංඛ්‍යාවක්" (ගණිතමය: කාර්දිනල් අංකය) දී ඇති කට්ටලයක සියලුම සාමාජිකයින්ගේ කට්ටලය මෙම කට්ටලයේ මූලද්රව්ය ගණනට වඩා වැඩිය.
කට්ටලයක මූලද්රව්ය තිබේ නම්, එයට 2 ඇතn උප කුලක; උදාහරණයක් ලෙස, විට = 3 සහ කට්ටලය {1, 2, 3} වලින් සමන්විත වේ, එවිට පහත උපකුලක පවතී:
- මූලද්රව්ය දෙකේ කට්ටල තුනක්: ඒ සෑම එකක්ම 1, 2, 3, අංක වලින් එකක් අස්ථානගත වී ඇත.
- එක් හිස් කට්ටලයක්,
- එක් මූලද්රව්ය කට්ටල තුනක්,
- සම්පූර්ණ කට්ටලය {1,2,3}
- අට, 2 පමණි3මෑතකදී පාසලෙන් උපාධිය ලබා ඇති පාඨකයින්, මම අනුරූප සූත්රය සිහිපත් කිරීමට කැමතියි:
මෙම සූත්‍රයේ ඇති සෑම නිව්ටෝනියානු සංකේතයක්ම -මූලද්රව්ය කට්ටලයේ ඇති k-මූලද්රව්ය කට්ටල ගණන තීරණය කරයි.
ගණිතයේ දී, ද්විපද සංගුණක අඩු ගුණ කිරීම සඳහා රසවත් සූත්‍ර වැනි වෙනත් බොහෝ ස්ථානවල දිස් වේ:
සහ ඒවායේ නිශ්චිත ස්වරූපය අනුව, ඔවුන්ගේ අන්තර් රඳා පැවැත්ම වඩාත් සිත්ගන්නා සුළුය.
තර්කය සහ ගණිතය සම්බන්ධයෙන් ගත් කල - කුමක්ද සහ සියල්ල නොවන්නේ කුමක්ද යන්න තේරුම් ගැනීමට අපහසුය. පැවැත්මක් නොමැතිකම පිළිබඳ තර්ක තම අමුත්තා වූ කොටියාගෙන් ආචාරශීලීව විමසූ විනී ද ෆූගේ තර්කය හා සමානයි, කොටින්ට මී පැණි, කුරුඳු සහ කටු පඳුරු කැමතිද? “කොටි සෑම දෙයකටම කැමතියි,” කුබුස් නිගමනය කළේ ඔවුන් සෑම දෙයකටම කැමති නම් ඔවුන්ද බිම නිදා ගැනීමට කැමති බවත් එබැවින් ඔහුට විනීට නැවත ඇඳට යා හැකි බවත්ය.
තවත් තර්කයක් රසල්ගේ විරුද්ධාභාසය. රැවුල කපා නොගන්නා සියලුම පිරිමින් රැවුල කපන බාබර් කෙනෙක් නගරයේ සිටී. ඔහු රැවුල කපා ගන්නේද? මෙම පිළිතුරු දෙකම ඝාතනය කරනු ලබන්නේ තමන් විසින්ම නොකරන අය සහ පමණක් ඝාතනය කරනු ලබන බවට ඉදිරිපත් කර ඇති කොන්දේසියට පටහැනි ය.
සියලු එකතු කිරීම් වල එකතුවක් සොයමින්
අවසාන වශයෙන්, මම සියලු කට්ටල කට්ටලයක් නොමැති බවට දක්ෂ, නමුත් බොහෝ ගණිතමය සාක්ෂියක් දෙන්නෙමි (එය සමඟ පටලවා නොගත යුතුය).
පළමුව, අපි ඕනෑම හිස් නොවන X කට්ටලයක් සඳහා, මෙම කට්ටලය එහි P(X) උප කුලකවල කුලකයට සිතියම් ගත කරන අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් අනන්‍ය ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීමට නොහැකි බව පෙන්වමු. ඉතින් අපි හිතමු මේ function එක තියෙනවා කියලා. එය සාම්ප්‍රදායික f යන්නෙන් දක්වමු. x වෙතින් f යනු කුමක්ද? මෙය එකතුවකි. xf අයිති x ටද? මෙය නොදනී. එක්කෝ ඔබ කළ යුතුයි හෝ නොකළ යුතුයි. නමුත් සමහර x සඳහා එය තවමත් x හි f ට අයත් නොවන පරිදි විය යුතුය. හොඳයි, එවිට x f(x) ට අයත් නොවන සියලුම x කට්ටලය සලකා බලන්න. එය (මෙම කට්ටලය) A මගින් දක්වන්න. එය X කුලකයේ යම් මූලද්‍රව්‍යයකට අනුරූප වේ. A ට අයත් වේද? ඔබ කළ යුතු යැයි උපකල්පනය කරමු. නමුත් A යනු f(x) ට අයත් නොවන x හි මූලද්රව්ය පමණක් අඩංගු කුලකයක්... හොඳයි, සමහර විට එය A ට අයත් නොවන්නේද? නමුත් A කට්ටලය මෙම දේපලෙහි සියලුම අංග අඩංගු වන අතර, එබැවින් A. සාක්ෂියේ අවසානයද ඇත.
එහෙයින් සියලු කුලක කුලකයක් වූයේ නම්, එයම පෙර තර්කයට අනුව කළ නොහැකි උප කුලකයක් වනු ඇත.
ෆ්හ්, මම හිතන්නේ බොහෝ පාඨකයින් මෙම සාක්ෂිය දැක නැත. ඒ වෙනුවට, මම එය ගෙන ආවේ දහනව වන ශතවර්ෂයේ අවසානයේ ගණිතඥයින්ට ඔවුන්ගේම විද්‍යාවේ පදනම් අධ්‍යයනය කිරීමට පටන් ගත් විට ඔවුන් කළ යුතු දේ පෙන්වීමට ය. කිසිවෙකු බලාපොරොත්තු නොවූ තැන ගැටළු ඇති බව පෙනී ගියේය. එපමණක් නොව, සමස්ත ගණිතය සඳහාම, පාදයන් පිළිබඳ මෙම තර්ක වැදගත් නොවේ: සෙලර්ස් වල කුමක් සිදු වුවද - ගණිතයේ මුළු ගොඩනැගිල්ලම ඝන පර්වතයක් මත පවතී.
මේ අතර ඉහලින්ම...
ස්ටැනිස්ලාව් ලෙම්ගේ කථාවලින් තවත් එක් සදාචාරයක් අපි සටහන් කරමු. ඔහුගේ එක් සංචාරයකදී, Iyon Tichi ග්‍රහලෝකයකට ළඟා විය, එහි වැසියන්, දිගු පරිණාමයකින් පසුව, අවසානයේ සංවර්ධනයේ ඉහළම අදියර කරා ළඟා විය. ඔවුන් සියල්ලෝම ශක්තිමත්, ඔවුන්ට ඕනෑම දෙයක් කළ හැකිය, ඔවුන්ට සියල්ල ඔවුන්ගේ ඇඟිලි තුඩුවල තිබේ ... ඔවුන් කිසිවක් නොකරයි. ඔවුන් වැලි මත වැතිර තම ඇඟිලි අතරට වත් කරති. "සියල්ල හැකි නම්, එය වටින්නේ නැත," ඔවුන් කම්පනයට පත් ඉජොන් වෙත පැහැදිලි කරති. අපේ යුරෝපීය ශිෂ්ටාචාරයට මෙය සිදු නොවේවා...
