සංකීර්ණ හැසිරීම් සහිත සරල ආකෘති එනම් අවුල් සහගතය
පරිගණකය යනු ස්වභාවධර්මය විසින් පරෙස්සමින් සඟවා ඇති රහස් හෙළි කිරීමට විද්‍යාඥයින් විසින් වැඩි වැඩියෙන් භාවිතා කරන මෙවලමකි. අත්හදා බැලීම් සහ න්‍යාය සමඟින් ආකෘති නිර්මාණය ලෝකය අධ්‍යයනය කිරීමේ තුන්වන මාර්ගය බවට පත්වෙමින් තිබේ.
මීට වසර තුනකට පෙර, Silesia විශ්ව විද්‍යාලයේ, අපි පරිගණක ක්‍රම අධ්‍යාපනයට ඒකාබද්ධ කිරීමේ වැඩසටහනක් ආරම්භ කළෙමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, බොහෝ මාතෘකා අධ්‍යයනය කිරීම පහසු සහ ගැඹුරු කරමින් අතිශය උද්වේගකර උපදේශාත්මක ද්‍රව්‍ය රාශියක් නිර්මාණය වී ඇත. පයිතන් ප්‍රධාන මෙවලම ලෙස තෝරා ගන්නා ලද අතර, පවතින විද්‍යාත්මක පුස්තකාලවල බලය සමඟ සමීකරණ, රූප හෝ දත්ත සමඟ "පරිගණක අත්හදා බැලීම්" සඳහා හොඳම විසඳුම විය හැකිය. සම්පූර්ණ වැඩ බංකුවක වඩාත්ම සිත්ගන්නා ක්‍රියාත්මක කිරීම් වලින් එකක් වන්නේ Sage [2] ය. එය පයිතන් භාෂාව සමඟ පරිගණක වීජ ගණිත පද්ධතියක විවෘත ඒකාබද්ධතාවයක් වන අතර, ඔබට වෙබ් බ්‍රවුසරයක් භාවිතයෙන් ක්‍රීඩා කිරීම ආරම්භ කිරීමටත්, ක්ලවුඩ් සේවාවක් [3] හෝ අන්තර්ක්‍රියාකාරී තනි පරිගණක සේවාදායකයක් හරහා හැකි ප්‍රවේශ විකල්පයන්ගෙන් එකක් වීමටත් ඔබට ඉඩ සලසයි. මෙම ලිපියේ අනුවාදය පදනම් වන්නේ [4] .
අවුල් සහගත පරිසරය
ඔක්ස්ෆර්ඩ් විශ්ව විද්‍යාලයේ පළමු වසර තුළ ඕස්ට්‍රේලියානු විද්‍යාඥ රොබට් මේ ජනවිකාස ගතිකයේ න්‍යායික අංශ අධ්‍යයනය කළේය. ඔහු "ඉතා සංකීර්ණ ගතිකත්වයන් සහිත සරල ගණිතමය ආකෘති" [1] යන ප්‍රකෝපකාරී මාතෘකාව යටතේ නේචර් සඟරාවේ පළ වූ පත්‍රිකාවක ඔහුගේ කාර්යය සාරාංශ කළේය. වසර ගණනාවක් පුරා, මෙම ලිපිය න්‍යායාත්මක පරිසර විද්‍යාවේ වඩාත්ම උපුටා ගත් කෘතිවලින් එකක් බවට පත්ව ඇත. මෙම කාර්යය කෙරෙහි එතරම් උනන්දුවක් ඇති වීමට හේතුව කුමක්ද?
ජනගහන ගතිකයේ සම්භාව්‍ය ගැටළුව වන්නේ යම් විශේෂයක වර්තමාන තත්ත්වය අනුව අනාගත ජනගහනය ගණනය කිරීමයි. ගණිතමය වශයෙන්, පරිසර පද්ධති ජනගහනයේ එක් පරම්පරාවක ජීවිතය එක් කන්නයක් පවතින සරලම ලෙස සැලකේ. හොඳ උදාහරණයක් වන්නේ සමනලුන් වැනි එක් කන්නයක සම්පූර්ණ පරිවෘත්තියකට භාජනය වන කෘමීන්ගේ ගහණයකි. කාලය ස්වභාවයෙන්ම ජනගහනයේ ජීවන චක්‍රවලට අනුරූප වන විවික්ත කාලපරිච්ඡේද 2කට බෙදා ඇත. මේ අනුව, එවැනි පරිසර පද්ධතියක් විස්තර කරන සමීකරණ ස්වභාවිකව ඊනියා ඇත විවික්ත කාලය, i.e. t = 1,2,3.... රොබට් මේ වෙනත් දේ අතර එවැනි ගතිකත්වයන් සමඟ කටයුතු කළේය. ඔහුගේ තර්කය තුළ, ඔහු පරිසර පද්ධතිය සරල කළේ තනි විශේෂයක් වන අතර එහි ජනගහනය පෙර වසරේ ජනගහනයේ චතුරස්රාකාර කාර්යයක් විය. මෙම ආකෘතිය පැමිණියේ කොහෙන්ද?
ජනගහනයක පරිණාමය විස්තර කරන සරලම විවික්ත සමීකරණය රේඛීය ආකෘතියකි:
Ni යනු i-th කන්නයේ බහුලත්වය වන අතර Ni + 1 ඊළඟ කන්නයේ ජනගහනය විස්තර කරයි. එවැනි සමීකරණයක් අවස්ථා තුනකට තුඩු දිය හැකි බව දැකීම පහසුය. a = 1 විට, පරිණාමය ජනගහනයේ ප්රමාණය වෙනස් නොකරනු ඇති අතර, <1 වඳ වී යාමට හේතු වන අතර, a > 1 යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අසීමිත ජනගහන වර්ධනයකි. මෙය ස්වභාව ධර්මයේ අසමතුලිතතාවයට තුඩු දෙනු ඇත. සොබාදහමේ සෑම දෙයක්ම සීමිත බැවින්, සීමිත සම්පත් ප්රමාණය සඳහා මෙම සමීකරණය සකස් කිරීම අර්ථවත් කරයි. පළිබෝධකයන් ධාන්ය අනුභව කරන බව සිතන්න, එය සෑම වසරකම හරියටම සමාන වේ. ප්රජනනය කළ හැකි ආහාර ප්‍රමාණයට සාපේක්ෂව කෘමීන් ස්වල්පයක් නම්, ඔවුන්ට පූර්ණ ප්‍රජනක බලයෙන් ප්රජනනය කළ හැකිය, a > 1 නියතයෙන් ගණිතමය වශයෙන් තීරණය වේ. කෙසේ වෙතත්, පළිබෝධකයන් වැඩි වන විට, ආහාර හිඟ වන අතර ප්‍රජනන ධාරිතාව අඩු වේ. විවේචනාත්මක අවස්ථාවකදී, බොහෝ කෘමීන් උපත ලබා ඇති බව සිතිය හැකිය, ඔවුන් ප්රජනනය කිරීමට කාලය ලැබීමට පෙර සියළුම ධාන්ය වර්ග අනුභව කරන අතර ජනගහනය මිය යයි. ආහාර සඳහා සීමිත ප්‍රවේශයේ මෙම බලපෑම සැලකිල්ලට ගන්නා ආකෘතියක් ප්‍රථම වරට 1838 දී Verhulst විසින් යෝජනා කරන ලදී. මෙම ආකෘතියේ දී, වර්ධන වේගය නියත නොවේ, නමුත් ජනගහනයේ තත්වය මත රඳා පවතී:
වර්ධන වේගය a සහ Ni අතර සම්බන්ධතාවයට පහත ගුණාංග තිබිය යුතුය: ජනගහනය වැඩි වුවහොත් ආහාර සඳහා ප්‍රවේශය දුෂ්කර බැවින් වර්ධන වේගය අඩු විය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම දේපල සමඟ බොහෝ කාර්යයන් ඇත: මේවා ඉහළ සිට පහළට ඇති කාර්යයන් වේ. Verhulst පහත සම්බන්ධතාවය යෝජනා කළේය:
එහිදී a>0 සහ නියත K>0 ආහාර සම්පත් සංලක්ෂිත වන අතර පරිසරයේ ධාරිතාව ලෙස හැඳින්වේ. K හි වෙනසක් ජනගහන වර්ධන වේගයට බලපාන්නේ කෙසේද? K වැඩි වුවහොත් Ni/K අඩු වේ. අනෙක් අතට, මෙය 1-Ni/K වර්ධනය වන කාරනය වෙත යොමු කරයි, එනම් එය වර්ධනය වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ වර්ධන වේගය වැඩි වන අතර ජනගහනය වේගයෙන් වර්ධනය වන බවයි. එබැවින් (1) සමීකරණයේ මෙන් වර්ධන වේගය වෙනස් වේ යැයි උපකල්පනය කිරීමෙන් පෙර ආකෘතිය (3) වෙනස් කරමු. එවිට අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු
මෙම සමීකරණය පුනරාවර්තන සමීකරණයක් ලෙස ලිවිය හැක
මෙහි xi = Ni / K සහ xi + 1 = Ni + 1 / K යනු i කාලයෙහි සහ i + 1 කාලයෙහි නැවත පරිමාණය කළ ජනගහනයයි. සමීකරණය (5) ලොජිස්ටික් සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
එවැනි කුඩා වෙනස් කිරීමකින් අපගේ ආකෘතිය විශ්ලේෂණය කිරීමට පහසු බව පෙනේ. අපි එය පරීක්ෂා කර බලමු. ආරම්භක ජනගහනය x5 = 0.5 සිට ආරම්භ වන a = 0 පරාමිතිය සඳහා සමීකරණය (0.45) සලකා බලන්න. පුනරාවර්තන සමීකරණය (5) භාවිතයෙන් අනුක්‍රමික ජනගහන අගයන් ලබා ගත හැක:
x1= පොරව0(1 වන0)
x2= පොරව1(1 වන1)
x3= පොරව2(1 වන2)
(6) හි ගණනය කිරීම් පහසු කිරීම සඳහා, අපට පහත වැඩසටහන භාවිතා කළ හැකිය (එය Python වලින් ලියා ඇති අතර අනෙකුත් දේවල් අතර, Sage වේදිකාවේ ධාවනය කළ හැක. ඔබ http://icse.us.edu පොත කියවන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. .pl/e-book. ), අපගේ ආකෘතිය අනුකරණය කරමින්:
අ = 0.5 x = 0.45 i සඳහා පරාසයක (10): x \u1d a * x * (XNUMX-x) x මුද්‍රණය කරන්න
අපි xi හි අනුක්‍රමික අගයන් ගණනය කරන අතර ඒවා ශුන්‍යයට නැඹුරු වන බව දකිමු. ඉහත කේතය සමඟ අත්හදා බැලීමෙන්, x0 හි ආරම්භක අගය නොසලකා මෙය සත්‍ය බව දැකීමට ද පහසුය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ජනගහනය නිරන්තරයෙන් මිය යන බවයි.
විශ්ලේෂණයේ දෙවන අදියරේදී, අපි පරාමිතිය a හි අගය ae (1,3) පරාසයේ ඕනෑම අගයකට වැඩි කරමු. එවිට xi අනුක්‍රමය නිශ්චිත ප්‍රමාණයකට x * > 0 දක්වා යන බව පෙනේ. පරිසර විද්‍යාවේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් මෙය අර්ථකථනය කරමින්, ජනගහන ප්රමාණය නිශ්චිත මට්ටමකින් ස්ථාවර වන අතර එය කන්නයෙන් සමයට වෙනස් නොවන බව අපට පැවසිය හැකිය. . x * හි අගය ආරම්භක තත්වය x0 මත රඳා නොපවතින බව සඳහන් කිරීම වටී. මෙය පරිසර පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය සඳහා දරන උත්සාහයේ බලපෑමයි - ජනගහනය තමන් පෝෂණය කිරීමේ හැකියාවට එහි ප්රමාණය සකස් කරයි. ගණිතමය වශයෙන්, පද්ධතිය ස්ථාවර ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකට නැඹුරු වන බව කියනු ලැබේ, i.e. සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් කිරීම x = f(x) (මෙයින් අදහස් වන්නේ ඊළඟ මොහොතේ තත්වය පෙර මොහොතේ මෙන් ම පවතින බවයි). Sage සමඟින්, කාලයත් සමඟ ජනගහනය සැලසුම් කිරීමෙන් අපට මෙම පරිණාමය චිත්‍රක ලෙස දෘශ්‍යමාන කළ හැකිය.
එවැනි ස්ථායීකරණ බලපෑමක් පර්යේෂකයන් විසින් අපේක්ෂා කරන ලද අතර, ලොජිස්ටික් සමීකරණය (5) පුදුමයට කරුණක් නොවන්නේ නම් වැඩි අවධානයක් දිනා නොගනු ඇත. පරාමිතියේ ඇතැම් අගයන් සඳහා, ආකෘතිය (5) අනපේක්ෂිත ලෙස හැසිරෙන බව පෙනී ගියේය. පළමුව, ආවර්තිතා සහ බහු ආවර්තිතා තත්වයන් ඇත. දෙවනුව, එක් එක් කාල පියවර සමඟ, අහඹු චලනයක් මෙන් ජනගහනය අසමාන ලෙස වෙනස් වේ. තෙවනුව, ආරම්භක තත්වයන්ට විශාල සංවේදීතාවයක් ඇත: පාහේ වෙන්කර හඳුනාගත නොහැකි ආරම්භක තත්වයන් දෙකක් සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ජනගහන පරිණාමයකට තුඩු දෙයි. මෙම සියලු ලක්ෂණ සම්පූර්ණයෙන්ම අහඹු චලනයකට සමාන හැසිරීම් වල ලක්ෂණ වන අතර එය නියතවාදී අවුල් ලෙස හැඳින්වේ.
අපි මෙම දේපල ගවේෂණය කරමු!
පළමුව, a = 3.2 පරාමිතියේ අගය සකසා පරිණාමය දෙස බලමු. සෑම දෙවන වාරයකම අඛණ්ඩව සිදුවන, මෙවර ජනගහනය එක් අගයක් නොව දෙකකට ළඟා වීම පුදුමයක් ලෙස පෙනේ. කෙසේ වෙතත්, ගැටළු එතැනින් අවසන් නොවන බව පෙනී ගියේය. a = 4 සමඟ, පද්ධතිය තවදුරටත් පුරෝකථනය කළ නොහැක. අපි රූපය (2) දෙස බලමු, නැතහොත් අපි පරිගණකයක් භාවිතයෙන් සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් නිර්මාණය කරමු. ප්‍රතිඵල සම්පූර්ණයෙන්ම අහඹු ලෙස පෙනෙන අතර තරමක් වෙනස් ආරම්භක ජනගහනය සඳහා බෙහෙවින් වෙනස් වේ. කෙසේ වෙතත්, අවධානයෙන් සිටින පාඨකයා විරුද්ධ විය යුතුය. නියතිවාදී සමීකරණයකින් විස්තර කරන ලද පද්ධතියක්, ඉතා සරල එකක් වුවද, අනපේක්ෂිත ලෙස හැසිරෙන්නේ කෙසේද? හොඳයි, සමහරවිට.
මෙම පද්ධතියේ ලක්ෂණයක් වන්නේ ආරම්භක තත්වයන්ට එහි කැපී පෙනෙන සංවේදීතාවයි. මිලියනයකින් වෙනස් වන ආරම්භක කොන්දේසි දෙකකින් ආරම්භ කිරීම ප්‍රමාණවත් වන අතර පියවර කිහිපයකින් අපට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ජනගහන අගයන් ලැබෙනු ඇත. අපි පරිගණකය පරීක්ෂා කරමු:
a = 4.0
x = 0.123 y=0.123+0.000001 PCC = [] i සඳහා පරාසයක (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-u) x, y මුද්‍රණය කරන්න
නිර්ණායක පරිණාමයේ සරල ආකෘතියක් මෙන්න. නමුත් මෙම නියතිවාදය රැවටිලිකාර ය, එය හුදෙක් ගණිතමය නියතිවාදයකි. ප්රායෝගික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, පද්ධතිය අනපේක්ෂිත ලෙස හැසිරෙන්නේ අපට කිසි විටෙකත් ආරම්භක කොන්දේසි ගණිතමය වශයෙන් නිවැරදිව සැකසිය නොහැකි බැවිනි. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම නිශ්චිත නිරවද්යතාවයකින් තීරණය කරනු ලැබේ: සෑම මිනුම් උපකරණයක්ම නිශ්චිත නිරවද්යතාවයක් ඇති අතර, අවුල් සහගත දේපල ඇති නිර්ණායක පද්ධතිවල මෙය ප්රායෝගික අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස කාලගුණ අනාවැකි ආකෘති, සෑම විටම අවුල් සහගත දේපලක් විදහා දක්වයි. දිගු කාලීන කාලගුණ අනාවැකි ඉතා නරක වන්නේ එබැවිනි.
අවුල් සහගත පද්ධති විශ්ලේෂණය අතිශයින් දුෂ්කර ය. කෙසේ වෙතත්, පරිගණක සමාකරණ ආධාරයෙන් අපට බොහෝ අවුල් සහගත අභිරහස් ඉතා පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය. අපි abscissa අක්ෂය දිගේ a පරාමිතියේ අගයන් සහ ordinate අක්ෂය දිගේ ලොජිස්ටික් සිතියම්කරණයේ ස්ථායී ස්ථාවර ලක්ෂ්ය ස්ථානගත කරන ඊනියා bifurcation රූප සටහන අඳින්නෙමු. පද්ධති විශාල සංඛ්‍යාවක් එකවර අනුකරණය කිරීමෙන් සහ බොහෝ නියැදි වාර ගණනකට පසු අගයන් සැලසුම් කිරීමෙන් අපි ස්ථාවර ලකුණු ලබා ගනිමු. ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, මේ සඳහා බොහෝ ගණනය කිරීම් අවශ්ය වේ. පහත අගයන් "ප්‍රවේශමෙන්" සැකසීමට උත්සාහ කරමු:
np ලෙස numpy ආනයනය කරන්න Nx = 300 ඒ = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) x = x + np.zeros((Na, Nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,na) a = a + np.zeros ((Nx, Na)) i සඳහා පරාසයක (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] සඳහා a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] තිත(pt, size=1, figsize=(7,5))
අපි රූපය (3) ට සමාන දෙයක් ලබා ගත යුතුය. මෙම ඇඳීම අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ කෙසේද? උදාහරණයක් ලෙස, a = 3.3 පරාමිතියේ අගය සමඟ, අපට ස්ථාවර ස්ථාවර ලක්ෂ්ය 2 ක් ඇත (ජනගහන ප්රමාණය සෑම දෙවන වාරයකම සමාන වේ). කෙසේ වෙතත්, a = 3.5 පරාමිතිය සඳහා අපට නියත ලක්ෂ්ය 4 ක් ඇත (සෑම සිව්වන වාරයේම ජනගහනයට එකම සංඛ්‍යාවක් ඇත), සහ a = 3.56 පරාමිතිය සඳහා අපට නියත ලකුණු 8 ක් ඇත (සෑම අටවන වාරයකම ජනගහනයට එකම සංඛ්‍යාවක් ඇත). නමුත් a≈3.57 පරාමිතිය සඳහා, අප සතුව අසීමිත ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයන් ඇත (ජනගහන ප්රමාණය කිසි විටෙකත් පුනරාවර්තනය නොවන අතර අනපේක්ෂිත ආකාරවලින් වෙනස් වේ). කෙසේ වෙතත්, පරිගණක වැඩසටහනක් සමඟ, පරාමිතිය a හි විෂය පථය වෙනස් කර අපගේම දෑතින් මෙම රූප සටහනේ අසීමිත ජ්යාමිතික ව්යුහය ගවේෂණය කළ හැකිය.
මෙය අයිස් කුට්ටියේ කෙළවර පමණි. මෙම සමීකරණය ගැන විද්‍යාත්මක පත්‍රිකා දහස් ගණනක් ලියා ඇත, නමුත් එය තවමත් එහි රහස් සඟවයි. පරිගණක සමාකරණ ආධාරයෙන්, ඔබට උසස් ගණිතය වෙත යොමු නොවී, රේඛීය නොවන ගතික ලෝකයේ පුරෝගාමියා සෙල්ලම් කළ හැකිය. ලොජිස්ටික් සමීකරණයේ බොහෝ රසවත් ගුණාංග සහ ඒවා දෘශ්‍යමාන කිරීමට සිත්ගන්නා ක්‍රම පිළිබඳ විස්තර අඩංගු සබැඳි අනුවාදය කියවීමට අපි ඔබට ආරාධනා කරන්නෙමු.
1 අධිෂ්ඨානවාදී නීතියක් යනු ආරම්භක තත්වය මගින් අනාගතය අනන්‍ය ලෙස තීරණය වන නීතියකි. ප්රතිවිරෝධය යනු සම්භාවිතා නීතියයි. 2 ගණිතයේ දී, "විවික්ත" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ යම් ගණන් කළ හැකි කට්ටලයකින් අගයන් ලබා ගැනීමයි. ප්රතිවිරුද්ධය "අඛණ්ඩ" වේ.
