ඇයි අපි බිංදුවෙන් බෙදන්නේ නැත්තේ?

මම සම්පූර්ණ ලිපියක්ම මෙතරම් අශෝභන ගැටලුවක් සඳහා කැප කරන්නේ මන්දැයි පාඨකයන්ට සිතිය හැකිය. හේතුව නම් විස්මිත ශිෂ්‍ය සංඛ්‍යාව (!) නම යටතේ අනියම් ලෙස මෙහෙයුම සිදු කිරීමයි. සහ සිසුන් පමණක් නොවේ. සමහර විට මම අල්ලා ගුරුවරුන්. එවැනි ගුරුවරුන්ගේ සිසුන්ට ගණිතය සම්බන්ධයෙන් කුමක් කළ හැකිද? මෙම පාඨය ලිවීමට ආසන්නතම හේතුව වූයේ බිංදුවෙන් බෙදීම ගැටළුවක් නොවන ගුරුවරයෙකු සමඟ කළ සංවාදයකි ...

බිංදුව සමඟ, ඔව්, කිසිවක් නැති කරදර හැර, අපට එදිනෙදා ජීවිතයේදී එය භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය නොවන බැවිනි. අපි බිංදු බිජුවට කඩේ යන්නේ නැහැ. "කාමරයේ එක් පුද්ගලයෙකු සිටී" කෙසේ හෝ ස්වභාවික ශබ්ද වන අතර "ශුන්ය මිනිසුන්" කෘතිම ලෙස ශබ්ද කරයි. වාග් විද්‍යාඥයන් පවසන්නේ ශුන්‍යය භාෂා පද්ධතියෙන් පිටත බවයි.

බැංකු ගිණුම්වල බිංදුව නොමැතිව අපට කළ හැකිය: ධනාත්මක සහ සෘණ අගයන් සඳහා - උෂ්ණත්වමානයක මෙන් - රතු සහ නිල් භාවිතා කරන්න (උෂ්ණත්වය සඳහා ධන අංක සඳහා රතු භාවිතා කිරීම ස්වාභාවික බව සලකන්න, සහ බැංකු ගිණුම් සඳහා එය අනෙක් පැත්තයි, මන්ද හර කිරීම අනතුරු ඇඟවීමක් අවුලුවාලිය යුතුය, එබැවින් රතු නිර්දේශ කරනු ලැබේ).

ශුන්‍යය ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් ලෙස ඇතුළත් කිරීමෙන්, අපි අවකලනය පිළිබඳ ගැටලුව ස්පර්ශ කරමු කාදිනල් අංක od ගෘහස්ත. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....

අංකයේ බලය එය සිටින ස්ථානයේ අංකයට සමාන වේ. එසේ නොමැතිනම්, එය දැනටමත් 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ..... අනුපිළිවෙලෙහි ඇත.

සිංගල්ටන් කට්ටල සංඛ්‍යාව දෙවනුව පැමිණේ, මූලද්‍රව්‍ය දෙකක් සහිත කට්ටල සංඛ්‍යාව තෙවනුව පැමිණේ, යනාදී වශයෙන්. උදාහරණයක් වශයෙන්, අපි මුල සිටම තරඟවල ක්‍රීඩක ක්‍රීඩිකාවන්ගේ ස්ථාන අංකනය නොකරන්නේ මන්දැයි පැහැදිලි කළ යුතුය. එවිට ප්‍රථම ස්ථානය දිනා ගන්නා තැනැත්තාට රිදී පදක්කමක් (රත්‍රං හිමි වූයේ ශුන්‍ය ස්ථානය දිනාගත් තැනැත්තාට) යනාදී ලෙස ය. පාපන්දු ක්‍රීඩාවේ දී භාවිතා වූයේ තරමක් සමාන ක්‍රියා පටිපාටියකි - "ලීග් එක" යන්නෙහි තේරුම පාඨකයින් දන්නවාදැයි මම නොදනිමි. හොඳම දේ අනුගමනය කරයි." ", සහ ශුන්‍ය ලීගය "ප්‍රධාන ලීගය" බවට පත් කිරීමට කැඳවනු ලැබේ.

තොරතුරු තාක්ෂණ අයට පහසු නිසා මුල සිටම පටන් ගත යුතු බවට තර්කයක් අපට විටෙක ඇසේ. මෙම සලකා බැලීම් දිගටම කරගෙන යමින්, කිලෝමීටරයක නිර්වචනය වෙනස් කළ යුතුය - එය මීටර් 1024 ක් විය යුතුය, මන්ද මෙය කිලෝබයිට් එකක බයිට් ගණනයි (පරිගණක විද්‍යාඥයින් දන්නා විහිළුවකට මම යොමු කරමි: “නවකයෙකු අතර වෙනස කුමක්ද සහ පරිගණක විද්‍යාව හදාරන ශිෂ්‍යයෙක් සහ මෙම පීඨයේ පස්වන වසරේ ශිෂ්‍යයෙක්ද? කිලෝබයිට් එකක් කිලෝබයිට් 1000ක්, අන්තිම - කිලෝමීටරයක් ​​මීටර් 1024ක්")!

දැනටමත් බැරෑරුම් ලෙස සැලකිය යුතු තවත් දෘෂ්ටි කෝණයකි: අපි සෑම විටම මුල සිටම මනිමු! පාලකයා මත, ගෘහස්ථ පරිමාණයන් මත, ඔරලෝසුව මත පවා ඕනෑම පරිමාණයක් දෙස බැලීම ප්රමාණවත්ය. අපි බිංදුවෙන් මනිනු ලබන අතර, ගණන් කිරීම මාන රහිත ඒකකයක් සහිත මිනුමක් ලෙස වටහා ගත හැකි බැවින්, අපි බිංදුවෙන් ගණන් කළ යුතුය.

එය සරල කාරණයක්, නමුත් ...

සාමාන්‍ය තර්කය අතහැර නැවත බිංදුවෙන් බෙදීමට යමු. කාරණය සරල වන අතර එය එසේ නොවේ නම් එය සරල වනු ඇත ... ඉතින් කුමක් ද? අපි හිතලා බලමු. එය කොපමණ විය හැකිද - එකක් බිංදුවෙන් බෙදිය හැකිද? අපි බලමු: 1/0 = x. වම් පැත්තේ හරයෙන් දෙපැත්තම ගුණ කරන්න.

අපට 1=0 ලැබේ. යමක් වැරදියි! සිදුවුයේ කුමක් ද? ආහ් අනුමාන! එකමුතුකමේ සහ ශුන්‍යයේ සංඝටකයක් ඇතැයි උපකල්පනය කිරීම පරස්පරයකට තුඩු දෙයි. තවද එකක් බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැකි නම්, තවත් සංඛ්‍යාවකට බෙදිය හැක. පාඨකයා, ඔබ ඔබේ උරහිස් හකුලාගෙන, කතුවරයා (එනම්, මම) එවැනි ප්‍රහසන ගැන ලියන්නේ මන්දැයි කල්පනා කරන්නේ නම්, ... මම ඉතා සතුටු වෙමි!

0/0 = 0 සූත්‍රය මුරණ්ඩු පදනමක් මත ආරක්ෂා කළ හැකි නමුත් එය සංඛ්‍යාවක් විසින්ම බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය එකකට සමාන වේ යන රීතියට පටහැනිය. නිරපේක්ෂ, නමුත් 0/0, °/° වැනි එවැනි සංකේත සහ කලනයේ සමාන වේ. ඒවා කිසියම් සංඛ්‍යාවක් අදහස් නොකෙරේ, නමුත් ඇතැම් වර්ගවල විශේෂිත අනුපිළිවෙල සඳහා සංකේතාත්මක තනතුරු වේ.

විදුලි ඉංජිනේරු පොතක, මම රසවත් සංසන්දනයක් සොයාගත්තා: ශුන්‍යයෙන් බෙදීම අධි වෝල්ටීයතා විදුලිය තරම්ම භයානක ය. මෙය සාමාන්‍ය දෙයකි: ඕම්ගේ නියමය පවසන්නේ වෝල්ටීයතාවයේ ප්‍රතිරෝධයේ අනුපාතය ධාරාවට සමාන බවයි: V = U / R. ප්‍රතිරෝධය ශුන්‍ය නම්, න්‍යායාත්මකව අනන්ත ධාරාවක් සන්නායකය හරහා ගලා යන අතර, හැකි සියලුම සන්නායක දහනය කරයි.

සතියේ සෑම දිනකම බිංදුවෙන් බෙදීමේ භයානකකම ගැන මම වරක් කවියක් ලිව්වෙමි. වඩාත්ම නාට්‍යමය දිනය බ්‍රහස්පතින්දා බව මට මතකයි, නමුත් මෙම ප්‍රදේශයේ මගේ සියලුම වැඩ සඳහා එය කණගාටුදායකය.

ඔබ යමක් බිංදුවෙන් බෙදූ විට

සඳුදා ඉතා ඉක්මනින්

සතියට මොකද වුනේ

ඔබ දැනටමත් දරුණු ලෙස අසාර්ථක වී ඇත.

අඟහරුවාදා සවස් වන විට

ඔබ හරයට බිංදුව දැම්මා

මම එතකොට ඔයාට කියන්නම්, ඔයා වැරදියි

නරක ගණිතඥයෙක්!

බිංදුව හරහා, විකෘතිය හරහා,

බදාදා වෙන් වෙන්න ඕන

ඔබ බොහෝ කරදරවලට පත් වනු ඇත

ඔබේ හිසෙහි පිදුරු සහ ජලය තිබේ!

එක්තරා බාර්ටෙක් අප සමඟ සිටියේය.

ඔහු නීතිරීතිවලට විරුද්ධ විය.

බ්රහස්පතින්දා එය ශුන්යයෙන් බෙදිය හැකිය.

ඔහු තවදුරටත් අප අතර නැත!

අමුතු ආශාවක් ඔබව අල්ලා ගන්නේ නම්

සිකුරාදා බිංදුවෙන් බෙදන්න

මම අවංක වන්නෙමි, මම අවංක වන්නෙමි:

මෙම සති අන්තයේ ආරම්භය නරකයි.

එය බිංදුව වන විට, සෙනසුරාදා කොහේ හරි

බෙදුම්කරු ඔබගේ වනු ඇත (නිර්භීත නොවේ)

පල්ලියේ වැට යට දණ ගසන්න.

මෙය ඔබගේ නැවත නැඟිටීමයි.

ඔබට ඉර යට ශුන්‍ය අවශ්‍යද,

ඉරිදා නිවාඩුවක් කරන්න

හුණු, කළු ලෑල්ල ගේන්න.

ලියන්න: එය බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැක!

ශුන්‍යය හිස්බව හා ශූන්‍යතාවය සමග බැඳී පවතී. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔහු ගණිතයට පැමිණියේ කිසිවකට එකතු කළ විට එය වෙනස් නොවන ප්‍රමාණයකි: x + 0 = x. නමුත් දැන් ශුන්‍යය වෙනත් අගයන් කිහිපයකින් දිස්වේ, විශේෂයෙන් පරිමාණ ආරම්භය. කවුළුවෙන් පිටත ධනාත්මක උෂ්ණත්වයක් හෝ හිම හෝ නොමැති නම්, ... මෙය ශුන්ය වේ, එය කිසිසේත් උෂ්ණත්වයක් නොමැති බව අදහස් නොවේ. ශුන්‍ය පන්තියේ ස්මාරකයක් යනු දිගු කලක් තිස්සේ කඩා බිඳ දැමූ සහ සරලව නොපවතින එකක් නොවේ. ඊට පටහැනිව, එය Wawel, අයිෆල් කුළුණ සහ ලිබර්ටි ප්‍රතිමාව වැනි දෙයකි.

හොඳයි, ස්ථානීය පද්ධතියක ශුන්‍යයේ වැදගත්කම අධිතක්සේරු කළ නොහැක. ඔබ දන්නවද පාඨකයා, බිල් ගේට්ස්ගේ බැංකු ගිණුමේ බිංදු කීයක් තිබේද? මම දන්නේ නැහැ, නමුත් මම අඩකට කැමතියි. පෙනෙන විදිහට, නැපෝලියන් බොනපාට් දුටුවේ මිනිසුන් ශුන්‍ය හා සමාන බව ය: ඔවුන් අර්ථය ලබා ගන්නේ තනතුර හරහා ය. Andrzej Wajda ගේ As the Years, As the Days Pass, උද්යෝගිමත් කලාකරු Jerzy පුපුරා යයි: "Philister is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." නමුත් ශුන්‍යය හොඳ විය හැකිය: "සම්මතයෙන් ශුන්‍ය අපගමනය" යනු සෑම දෙයක්ම හොඳින් සිදුවෙමින් පවතින අතර එය දිගටම කරගෙන යන්න!

අපි නැවත ගණිතයට යමු. ශුන්‍යය දණ්ඩමුක්තිය සමඟ එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ ගුණ කිරීමට හැකිය. “මම කිලෝග්‍රෑම් බිංදුවක් ලබා ගත්තා,” මාන්‍යා ආන්‍යාට පවසයි. “මෙය සිත්ගන්නා සුළුය, මන්ද මට එකම බර අඩු වූ බැවිනි,” ආන්යා පිළිතුරු දෙයි. ඉතින් අපි අයිස්ක්‍රීම් බිංදු හයක් හය වතාවක් කමු, එය අපට හානියක් නොවේ.

අපට බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැක, නමුත් අපට ශුන්‍යයෙන් බෙදිය හැකිය. ආහාර සඳහා බලා සිටින අයට ශුන්ය ඩම්ප්ලිං පිඟානක් පහසුවෙන් ලබා දිය හැකිය. එක එක්කෙනාට කීයක් ලැබේවිද?

ශුන්‍යය ධනාත්මක හෝ සෘණාත්මක නොවේ. මෙය සහ අංකය ධනාත්මක නොවනи සෘණ නොවන. එය x≥0 සහ x≤0 අසමානතා තෘප්තිමත් කරයි. "ධනාත්මක යමක්" යන ප්‍රතිවිරෝධය "යමක් සෘණාත්මක" නොවේ, නමුත් "යමක් සෘණාත්මක හෝ ශුන්‍යයට සමාන" වේ. ගණිතඥයන්, භාෂාවේ නීතිවලට පටහැනිව, යමක් "ශුන්‍යයට සමාන" මිස "ශුන්‍ය" නොවන බව සැමවිටම කියනු ඇත. මෙම පරිචය සාධාරණීකරණය කිරීම සඳහා, අපට ඇත්තේ: අපි x = 0 "x ශුන්‍යයට සමාන" සූත්‍රය කියවා ඇත්නම්, x = 1 අපි "x is equal to one" කියවමු, එය ගිල දැමිය හැකි නමුත් "x = 1534267" ගැන කුමක් කිව හැකිද? ? ඔබට 0 අක්ෂරයට සංඛ්‍යාත්මක අගයක් ලබා දිය නොහැක⁰බිංදුව සෘණ බලයකට ඔසවන්නත් එපා. අනෙක් අතට, ඔබට කැමැත්තෙන් බිංදුව root කළ හැකිය ... එවිට ප්රතිඵලය සෑම විටම ශුන්ය වනු ඇත. 

ඝාතීය ශ්‍රිතය y = a^x, a හි ධන පදනම කිසිවිටක ශුන්‍ය නොවේ. එයින් කියවෙන්නේ ශුන්‍ය ලඝුගණකයක් නොමැති බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, a හි ලඝුගණකය b පාදයේ ලඝුගණකය යනු a හි ලඝුගණකය ලබා ගැනීම සඳහා පාදය ඉහළ නැංවිය යුතු ඝාතකයයි. a = 0 සඳහා, එවැනි දර්ශකයක් නොමැති අතර, ලඝුගණකයේ පදනම ශුන්‍යය විය නොහැක. කෙසේ වෙතත්, නිව්ටන්ගේ සංකේතයේ "හර" හි ශුන්‍යය වෙනත් දෙයකි. මෙම සම්මුතීන් පරස්පරයකට තුඩු නොදෙන බව අපි උපකල්පනය කරමු.

බොරු සාක්ෂි

බිංදුවෙන් බෙදීම ව්‍යාජ සාක්ෂි සඳහා පොදු විෂයයක් වන අතර එය පළපුරුදු ගණිතඥයින්ට පවා සිදු වේ. මම කැමතිම උදාහරණ දෙකක් දෙන්නම්. පළමුවැන්න වීජ ගණිතයයි. සියලුම සංඛ්යා සමාන බව මම "ඔප්පු" කරමි. සමාන නොවන සංඛ්‍යා දෙකක් ඇතැයි සිතමු. එමනිසා, ඔවුන්ගෙන් එකක් අනෙකට වඩා විශාල වේ, a > b. සී ඔවුන්ගේ වෙනස යැයි සිතමු

c \uXNUMXd a - b. ඉතින් අපිට a - b = c, කොහෙන්ද a = b + c.

අපි අග කොටස් දෙකම a - b මගින් ගුණ කරමු:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

මම ak වම් පැත්තට පරිවර්තනය කරමි, ඇත්ත වශයෙන්ම මට ලකුණ වෙනස් කිරීම මතකයි:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

මම පොදු සාධක බැහැර කරමි:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

මම බෙදාගන්නා අතර මට අවශ්‍ය දේ මා සතුව ඇත:

a = b.

ඇත්තටම ඊටත් වඩා ආගන්තුකයි, මොකද මම a >b කියලා උපකල්පනය කළා, මට ලැබුණේ a = b කියලා. ඉහත උදාහරණයේ "වංචා කිරීම" හඳුනා ගැනීම පහසු නම්, පහත ජ්‍යාමිතික සාධනයේදී එය එතරම් පහසු නැත. මම ඔප්පු කරන්නම් ... trapezoid නොපවතියි. සාමාන්යයෙන් trapezoid ලෙස හඳුන්වන රූපය නොපවතී.

නමුත් පළමුව trapezoid (පහත රූපයේ ABCD) වැනි දෙයක් ඇතැයි සිතමු. එයට සමාන්තර පැති දෙකක් ("පදනම") ඇත. පින්තූරයේ පෙන්වා ඇති පරිදි අපි මෙම පාද දිගු කරමු, එවිට අපට සමාන්තර චලිතයක් ලැබේ. එහි විකර්ණ trapezoid හි අනෙක් විකර්ණය x, y, z ලෙස දැක්වෙන දිග කොටස් වලට බෙදයි. රූපය 1. අනුරූප ත්රිකෝණවල සමානතාවයෙන්, අපි සමානුපාතිකයන් ලබා ගනිමු:

අපි නිර්වචනය කරන තැන:

ඔරාස්

අපි නිර්වචනය කරන තැන:

තරු ලකුණු සහිත සමානාත්මතාවයේ පැති අඩු කරන්න:

 දෙපැත්තම x - z මගින් කෙටි කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ - a / b = 1, එනම් a + b = 0. නමුත් a, b යනු trapezoid හි පාදවල දිග වේ. ඒවායේ එකතුව ශුන්‍ය නම්, ඒවා ද ශුන්‍ය වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ trapezoid වැනි රූපයක් පැවතිය නොහැකි බවයි! සෘජුකෝණාස්‍ර, රොම්බස් සහ හතරැස් ද trapezoids වන බැවින්, හිතවත් පාඨකය, rhombuses, සෘජුකෝණාස්‍ර සහ හතරැස් ද නොමැත ...

අනුමාන කරන්න අනුමාන කරන්න

තොරතුරු බෙදා ගැනීම මූලික ක්‍රියාකාරකම් හතරෙන් වඩාත් සිත්ගන්නාසුළු හා අභියෝගාත්මක වේ. මෙන්න, පළමු වතාවට, අපි වැඩිහිටි වියේදී ඉතා සුලභ සංසිද්ධියක් මුණගැසෙමු: "පිළිතුර අනුමාන කරන්න, ඉන්පසු ඔබ නිවැරදිව අනුමාන කළේ දැයි පරීක්ෂා කරන්න." මෙය Daniel K. Dennett විසින් ඉතා යෝග්‍ය ලෙස ප්‍රකාශ කර ඇත ("වැරදි කරන්නේ කෙසේද?", එය කෙසේද - විශ්වයට විද්‍යාත්මක මාර්ගෝපදේශකයක්, CiS, Warsaw, 1997):

මෙම "අනුමාන කිරීමේ" ක්‍රමය අපගේ වැඩිහිටි ජීවිතයට බාධාවක් නොවේ - සමහර විට අපි එය කලින් ඉගෙන ගන්නා නිසා සහ අනුමාන කිරීම අපහසු නැත. දෘෂ්ටිමය වශයෙන්, එම සංසිද්ධිය සිදු වේ, උදාහරණයක් ලෙස, ගණිතමය (සම්පූර්ණ) ප්රේරණය තුළ. එම ස්ථානයේම, අපි සූත්රය "අනුමාන" කර පසුව අපගේ අනුමානය නිවැරදි දැයි පරීක්ෂා කරන්න. සිසුන් නිතරම අසන්නේ: "අපි රටාව දැනගත්තේ කෙසේද? ඒක එලියට ගන්නේ කොහොමද?" සිසුන් මගෙන් මෙම ප්‍රශ්නය අසන විට, මම ඔවුන්ගේ ප්‍රශ්නය විහිළුවක් බවට පත් කරමි: "මම මෙය දන්නවා මම වෘත්තිකයෙකු නිසා, මට දැන ගැනීමට මුදල් ලැබෙන නිසා." පාසැලේ සිසුන්ට එකම ශෛලියකින් පිළිතුරු දිය හැක්කේ වඩාත් බැරෑරුම් ලෙස පමණි.

ව්යායාම කරන්න. අපි එකතු කිරීම සහ ලිඛිත ගුණ කිරීම අඩුම ඒකකයෙන් සහ බෙදීම ඉහළම ඒකකයෙන් ආරම්භ කරන බව සලකන්න.

අදහස් දෙකක එකතුවක්

ගණිත ගුරුවරුන් සෑම විටම පෙන්වා දී ඇත්තේ අප වැඩිහිටි වෙන්වීම ලෙස හඳුන්වන්නේ සංකල්පීය වශයෙන් වෙනස් අදහස් දෙකක එකතුවක් බවයි. නිවාස i වෙන්වීම.

පළමු එක (නිවාස) පුරාවිද්‍යාව ඇති කාර්යයන් වලදී සිදු වේ:

බෙදන්න-බෙදීම මේවා එවැනි කාර්යයන් වේ:

? (1892 දී Krakow හි ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද Julian Zgozalewicz ගේ අත්පොතෙන් ලබාගත් මෙම ගැටලුවේ මුල් විලාසය අපි රඳවා ගනිමු - złoty යනු XNUMX වන සියවස ආරම්භය දක්වා ඔස්ට්‍රෝ-හංගේරියානු අධිරාජ්‍යයේ සංසරණය වූ මුදල් වර්ගය වන Rhenish złoty වේ).

දැන් ගැටළු දෙකක් සලකා බලන්න පෝලන්ත භාෂාවෙන් පැරණිතම ගණිත පොත, පියා Tomasz Clos (1538). එය බෙදීමක් හෝ කූපේද? XNUMX වන සියවසේ පාසල් සිසුන් කළ යුතු ආකාරයට එය විසඳන්න:

(පෝලන්ත භාෂාවෙන් පෝලන්ත පරිවර්තනය: බැරලයක ක්වාර්ට් එකක් සහ භාජන හතරක් ඇත. බඳුනක් යනු ලීටර් හතරකි. යමෙකු වෙළඳාම සඳහා zł 20 කට වයින් බැරල් 50 ක් මිලදී ගත්තේය. තීරු බදු සහ බදු (සුරාබදු?) 8 zł වනු ඇත. කොපමණ zł 8ක් උපයන්න quart එකක් විකුනන්නද?)

ක්රීඩා, භෞතික විද්යාව, සමපාත

සමහර විට ක්‍රීඩාවේදී ඔබට යමක් බිංදුවෙන් බෙදිය යුතුය (ඉලක්ක අනුපාතය). හොඳයි, විනිසුරුවන් කෙසේ හෝ එය සමඟ කටයුතු කරයි. කෙසේ වෙතත්, වියුක්ත වීජ ගණිතයේ ඒවා න්‍යාය පත්‍රයේ ඇත. ශුන්‍ය නොවන ප්‍රමාණඑහි වර්ග ශුන්‍ය වේ. එය සරලව පවා පැහැදිලි කළ හැකිය.

තලයේ ලක්ෂ්‍යයක් (x, y) සමඟ ලක්ෂ්‍යයක් (y, 0) සම්බන්ධ කරන F ශ්‍රිතයක් සලකා බලන්න. F යනු කුමක්ද?², එනම්, F හි ද්විත්ව ක්රියාත්මක කිරීමක් ද? ශුන්‍ය ශ්‍රිතය - සෑම ලක්ෂයකටම රූපයක් ඇත (0,0).

අවසාන වශයෙන්, ශුන්‍ය නොවන ප්‍රමාණ වර්ග 0 භෞතික විද්‍යාඥයින් සඳහා දෛනික පාන් වේ, සහ a + bε ආකාරයේ අංක, මෙහි ε ≠ 0, නමුත් ε² = 0, ගණිතඥයින් අමතන්න ද්විත්ව සංඛ්යා. ඒවා ගණිතමය විශ්ලේෂණයේදී සහ අවකල ජ්‍යාමිතියේදී සිදුවේ.

සියල්ලට පසු, අවම වශයෙන් නමේ බිංදුවෙන් බෙදීම ඇති අංක ගණිතයේ යමක් තිබේ. එය පැමිණෙන්නේ සමගිය. Z නිඛිල කුලකයක් දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. Z කට්ටලය p වලින් බෙදීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අපි එක් එක් සංඛ්‍යා (පූර්ණ සංඛ්‍යාව) තවත් සමහරකට, එනම් ඒවායේ වෙනස බෙදිය හැකි ඒවාට සමාන කිරීමයි. ඉතින්, අපි 0, 1, 2, 3, 4 ඉලක්කම් වලට අනුරූප සංඛ්යා වර්ග පහක් ඇති විට - 5 න් බෙදූ විට හැකි ඉතිරිය. සූත්රය මෙසේ ලියා ඇත:

වෙනස බහු වූ විට mod.

= 2 සඳහා, අපට ඇත්තේ සංඛ්‍යා දෙකක් පමණි: 0 සහ 1. එවැනි පන්ති දෙකකට පූර්ණ සංඛ්‍යා බෙදීම ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ලෙස බෙදීමට සමාන වේ. අපි දැන් එය ප්රතිස්ථාපනය කරමු. වෙනස සෑම විටම 1 න් බෙදිය හැකිය (ඕනෑම නිඛිලයක් 1 න් බෙදිය හැකිය). =0 ගත හැකිද? අපි උත්සාහ කරමු: සංඛ්‍යා දෙකක වෙනස ශුන්‍යයේ ගුණාකාරයක් වන්නේ කවදාද? මෙම සංඛ්යා දෙක සමාන වන විට පමණි. එබැවින් නිඛිල සමූහයක් බිංදුවෙන් බෙදීම අර්ථවත් කරයි, නමුත් එය සිත්ගන්නා සුළු නොවේ: කිසිවක් සිදු නොවේ. කෙසේ වෙතත්, මෙය ප්රාථමික පාසලේ සිට දන්නා අර්ථයෙන් සංඛ්යා බෙදීම නොවන බව අවධාරණය කළ යුතුය.

එවැනි ක්රියාවන් සරලව තහනම් කර ඇත, මෙන්ම දිගු හා පුළුල් ගණිතය.

සහල්. 2. සංසන්දනය භාවිතා කරමින් සංඛ්යා හඳුනා ගැනීම

(5 මාදිලිය සහ 2 මාදිලිය)